対数計算

今日は対数計算についてメモします。

正の数cとAが与えられたとき、A=c^Nを満足する数Nの値を、cを底とするAの対数といい、N=logcA(ログシーのエー)で表す。

10を底とする対数を常用対数といい、N=logⅹAと表す。

(ⅹを10と読み替えてください)

対数の公式

①log(A×B)=logA+logB

②log(A÷B)=logA−logB

について、実際に数を使って求めてみました。

まずは、①の乗算から

まず、対数の底をc、A=c^N、B=c^Mとすれば、

N=logcA、M=logcBとなり、

A×Bを求めるとA×B=c^N×c^M=c^N+Mとなる。

ここで、c=10、A=100、B=1,000とし、

N+M=logcA+logcBを解くと

N=logⅹ 100、100=10^N、N=2、

M=logⅹ 1,000、1,000=10^3、M=3、

2+3=logⅹ 100+logⅹ 1,000

    5=logⅹ (100×1,000)

    5=logⅹ 100,000

となり、100,000=10^5であるから、

logA+logB=log(A×B)となる。

(ⅹを10と読み替えてください)

次に②の除算について、

①と同様にA÷Bを求めるとA÷B=c^N÷c^M=c^N−Mとなる。

ここで、c=10、A=100、B=1,000とし、
N−M=logcA−logcBを解くと

 N=logⅹ 100、100=10^N、N=2、
M=logⅹ 1,000、1,000=10^3、M=3、
2−3=logⅹ 100−logⅹ 1,000
−1=logⅹ (100÷1,000)
−1=logⅹ 1÷10

−1=logⅹ 0.1

−1=logⅹ 10^−1

となり、0.1=10^−1であるから、
logA−logB=log(A÷B)となる。
(ⅹを10と読み替えてください)

指数(logA^N=nlogA)については、また今度にしたいと思います！